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Lo stato dell'unione italiana

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Quello che misuro con sd(ln(Yi/Yj)) aumenta con l'intervallo di tempo considerato, ma il confronto fatto sullo stesso periodo di tempo tra coppie di regioni diverse rimane valido.

Se ho capito l'obiezione di Boldrin il punto è che anche a parità di intervallo una maggiore varianza potrebbe indicare semplicemente una maggiore differenza gx-gy fra le macroaree di un paese rispetto all'altro e non una minore correlazione. Infatti non è solo la lunghezza t dell'intervallo che incrementa la varianza di log(Y1/Y2). La varianza si modifica anche al variare della differenza fra i parametri gx e gy dell'esempio di Boldrin.

Yup.

La tua maniera di misurare varianze/covarianze, Alberto, mischia differenze di trend (gx-gy) con differenze "cicliche". Queste vi sarebbero nel caso in cui vi fossero due processi stocastici distinti per X e Y; al contrario del mio esempio dove, per costruzione, ne ho imposto uno solo proprio per evidenziare il paradosso.

Le due cose vanno separate e, quando si parla di correlazione fra due serie, si tende a pensare alla seconda, dopo averle rese entrambe stazionarie. Anche perché, senza renderle stazionarie, i momenti che occorre calcolare per arrivare alla correlazione nemmeno "esistono", in principio.

Detto altrimenti, se tu simuli le due serie X ed Y che ho suggerito io, esse crescono o calano simultaneamente. Se fra t e t+1 X cresce, anche Y cresce, e viceversa. Non solo: è costante il ratio fra i loro tassi di crescita/diminuzione. Una serie e' uguale all'altra moltiplicata per una semplice esponenziale con tasso di crescita constante. Quindi, nel tempo, le due serie sono perfettamente correlate tanto che puoi predirre X(t) per tutti i t=2, 3, ..., se solo osservi Y(t) (e X(0) ed X(1), ossia le due condizioni inziali che servono per calcolare gx). E viceversa, ovviamente. 

Non c'è in X alcuna informazione addizionale rispetto a quella contenuta in Y. Una decomposizione fattoriale delle due serie lo rivelerebbe, sono di fatto lo stesso processo stocastico, solo che uno è una trasformazione esponenziale dell'altro.