John Nash, 1928-2015

24 maggio 2015 andrea moro

È mancato ieri a 86 anni, assieme alla moglie, a causa di un incidente stradale in taxi sulla New Jersey Turnpike, John Nash, matematico autore di alcuni lavori che hanno cambiato la scienza economica.

John Nash è autore di alcuni risultati che fanno parte del linguaggio corrente di ogni economista (e non solo), e vengono da diversi anni insegnati anche a livello undergraduate o, dove si insegna un po' di economia, nelle scuole superiori.  Dopo un periodo estremamente produttivo all'inizio degli anni '50, la vita di Nash è stata segnata da una malattia mentale che lo ha escluso dal mondo accademico e ha ritardato il conseguimento del premio Nobel, avvenuto nel 1994. È stato reso famoso al grande pubblico dopo la pubblicazione della sua biografia  "A Beautiful Mind", di Sylvia Nasar, adattata qualche anno fa per il grande schermo. 

La teoria dei giochi, nome accattivante dato allo studio delle interazioni strategiche fra individui (o imprese) era stata inventata negli anni '40 da John Von Neumann e Oskar Morgenstern, ma i loro studi si erano limitati allo studio dei "giochi a somma zero fra due persone", cioé nei casi in cui la perdita di una persona equivale al guadagno di un'altra. Il contributo di Nash fu quello di: (a) estendere la teoria al caso in cui l'interazione fra individui possa dare esiti vantaggiosi per tutti (o dannosi per tutti); (b) distinguere lo studio dei giochi non-cooperativi da quelli cooperativi, fondando essenzialmente due filoni di ricerca separati; (c) inventare un concetto di soluzione per ciascuno di questi filoni, dimostrando l'esistenza sotto condizioni abbastanza generali: l'"Equilibrio di Nash" e la "Soluzione cooperativa di Nash"; (d) ipotizzare un collegamento fra queste due branche (il "Nash Program"), un progetto di ricerca che venne poi esplorato da altri ricercatori soprattutto negli anni '70 e '80.

Tutto questo in una tesi di Phd del 1950 e tre articoli pubblicati dal 1950 al 1953, 31 pagine complessive che pesano come macigni nella scienza economica moderna anche per il loro contributo indiretto, sia tecnico sia sostanziale. Nash fu uno dei primi ad introdurre in economia l'uso del teorema del punto fisso di Kakutani (1941), tecnica che venne poco dopo adattata da McKenzie e da Arrow-Debreu  per dimostrare l'esistenza dell'equilibrio generale (inizialmente Debreu pensò di sfruttare direttamente il teorema di Nash modellando l'equilibrio generale come un gioco e di pensando al banditore come al giocatore che sceglie i prezzi, poi scelse un'altra strada).

La dimostrazione dell'esistenza dell'equilibrio di Nash contribuì a popolarizzare lo studio delle interazioni fra individui nei campi più disparati. Lentamente, la scienza economica si trasformò dallo studio dell'allocazione delle risorse scarse allo studio delle interazioni fra agenti e della loro aggregazione in esiti che chiamiamo "di equilibrio". Per questo motivo e anche grazie alla popolarità conseguita dalla teoria dei giochi, chi si definisce "economista" oggigiorno studia non solo fenomeni strettamente "economici", ma spesso sfora in campi tradizionalmente ambito di psicologi, sociologi, scienziati politici, linguisti, giuristi, biologi, e così via...

Concludo citando i suoi tre articoli rilevanti per l'economia:

  • The bargaining problem. Econometrica 18: 155 - 162, 1950
  • Non-cooperative games. Annals of Mathematics 54: 286 - 295, 1951
  • Two-person cooperative games. Econometrica 21: 128 - 140, 1953

25 commenti (espandi tutti)

R.I.P.

Antony81 25/5/2015 - 11:21

Pover'uomo ha passato una vita a combattere contro una terribile malattia che poi ha colpito anche suo figlio.

Per gli appassionati, un link alla sua tesi di dottorato (26 pagine!).

per farlo ammettere a graduate school era ancora piu' corta: 5 parole :)

indeed... altri tempi

Non avevo mai visto la lettera di presentazione per Nash a Princeton.

Quindi riassumendo, nel febbraio  del ‘48 R. Duffin, nemmeno quarantenne, scrive due righe di presentazione su un ragazzo non ancora ventenne che nel novembre del ’49 scriverà al PNAS una mezza pagina dal titolo “Equilibrium points in n-person games” (sarà pubblicata nel ‘50) in cui ringrazia D. Gale , un ventisettenne neodottore, per avergli suggerito l’uso del teorema di Kakutani. D. Gale poi pubblicherà con L. Shapley lavori che porteranno quest’ultimo al Nobel (ma è un’altra storia, forse). Nel maggio del ’50 il giovane John, nemmeno ventiduenne, conclude il PhD in matematica con una tesi di 26 pagine (postata da Rigotti in un commento sopra) che sarà poi pubblicata nel 1951 negli annali di matematica Non-cooperative Games (a stampa sono 13 pagine inclusa la breve bibliografia). Sempre nel ’50 John pubblica anche su Econometrica The Bargaining Problem.

Da come me lo ricordo il film, di oltre due ore, rappresenta tutta questa prima parte in modo molto più lento e sofferto.

Nota curiosa. Duffin, Gale, Nash e Shapley riceveranno tutti il John Von Neumann Theory Prize, un premio con una borsa molto leggera e un albo d’oro molto pesante.

Ricordo

Paolo Balduzzi 26/5/2015 - 11:33

Ho avuto la fortuna di conoscere John Nash nel 2004, durante una conferenza Marsiglia. Ricordo divertito il suo intervento. Proiettò un lucido con una matrice piena di numeri e cominciò a parlare come se quei numeri avessero un senso. Andò avanti per un'ora. Ancora oggi non so se a capire nulla fui io o se ci avesse preso tutti in giro!
La conferenza era questa qui e sono pronto a scommettere di non essere l'unico tra gli autori e lettori del sito ad esserci stato!
Nash credo fosse anche un abitué del festival di teoria dei giochi che si tiene ogni estate a Stony Brook.
Lo ricordo anche perché vinse il nobel nel 1994, quando cominciai l'università. Lessi la sua storia e ne rimasi affascinato. Mi fu simpatico da subito e fui contento di poterlo studiare nelle settimane, mesi e anni che seguirono.

Da piu' parti si legge, forse piu' che altro ispirati dal Film che "Il risultato di Nash, ottenuto quando era ancora studente, prevede che se ogni giocatore assume che tutti i partecipanti terranno il comportamento più razionale possibile in funzione del perseguimento di un obbiettivo comune, il sistema raggiungerà il miglior equilibrio possibile per tutti in modo naturale."

Francamente sono molto scettico di fronte a questa interpretazione. Proprio perché la teoria matematica ha avuto grandi applicazioni in diversi ambiti, non solo economici, e vsto che uno di questo è la biologia, mi pare inverosimile dare per assodato questa assunzione del comportamento piu' razionale di tutti gli attori. Secondo Dawkins, che non è certo l'ultimo arrivato, le specie animali realizzano tra loro equilibri evolutivamente stabili che sono a suo dire equilibri di Nash. Un caso chiaro di cooperazione interspecifica puo' essere quello sintetizzato qui sotto:

Naturalmente noi possiamo intuire la razionalità del comportamento ed inquadrarlo nell'ambito della games theory ma gli "attori" della foto? L'uccellino "assume" il comportamento razionale del coccodrillo?
In pratica, e lo chiedo a chi qui ne sa ben piu' di me, è veramente necessaria questa consapevole assunzione di razionalità in tutti gli attori per arrivare ad un equilibrio di Nash?

un gioco e' costituito da un insieme di giocatori, un insieme di azioni per ogni giocatore, e per ogni giocatore un ranking di tutti gli outcome possibili (un outcome e' rappresentato da una lista di azioni, una per ogni giocatore). un equilibrio e' un outcome tale per cui l'azione di ogni giocatore e' la migliore (in base al ranking) date le azioni degli altri. 

come vedi l'idea di razionale non e' nemmeno contemplata, eccetto che interpretiamo come "razionalita'" dei giocatori  il fatto che i giocatori possiedono un ranking degli outcomes e che in equilibrio l'azione di ogni giocatore deve essere la migliore possibile date le scelte degli altri. 

senza discutere di equilibrio evolutivamente stabile, posso modellare il tuo esempio con la teoria dei giochi assumendo che il coccodrillo e' indifferente a mangiare o non mangiare l'uccellino e che l'uccellino preferisce mangiare dalla bocca del coccodrillo al non farlo, solo nel caso in cui rimane vivo. date queste assunzioni posso dimostrare che il comportamento dell'uccellino e' in equilibrio perche' il coccodrillo non lo mangia e quello del coccodrillo e' in equilibrio perche' mangiare l'uccellino non gli arreca nessun vantaggio.  

questa e', nella sua semplicita', la matematica.....ed e' il punto di partenza. il resto e' troppo complicato per essere spiegato qui, almeno per me. altri, sono certo, potranno fare meglio.

Ritieni che per il coccodrillo sia indifferente. Non è cosi'. Ha un vantaggio a farsi (ricursivamente) pulire la dentatura che è maggiore del vantaggio di mangiarsi una tantum il volatile. La situazione cooperativa è win-win e si afferma tramite la recursività, dopo millenni o milioni di anni. Ma quello che dici (la razionalità degli attori e la consapevolezza che lo siano non è contemplata) mi conforta rispetto alle mie perplessità. Le quali sia chiaro riguardano la vulgata giornalistica, rilanciata soprattutto dalla famosa scena del film.

Quello che chiedo a chi conosce la teoria vera (non quella romanzata) è se è vero che Nash abbia detto/scritto quel concetto oppure se fa solo parte delle deformazioni giornalistiche.

si usa la teoria dei giochi, ma è ritenuto più appropriato usare concetti di soluzione più ristretti rispetto a quello dell'equilibrio di Nash. Negli anni '70, per esempio, John Maynard Smith sviluppo' il concetto di Evolutionary Stability per un esito di un gioco. Non tutti gli equilibri di Nash sono evolutionary stable, ma tutti gli equilibri evolutivamente stabili sono anche equilibri di Nash.

Senza entrare nei dettagli, il concetto è più o meno questo: se facciamo giocare una moltitudine di giocatori che scelgono "miopicamente", e facciamo "morire" quelli che ottengono esiti peggiori, ed riprodurre quelli che ottengono esiti  migliori (va beh, qui sto approssimando), dopo un po' di tempo rimangono pian piano solo coppie di giocatori che giocano strategie evolutivamente stabili. In riferimento alla frase che hai citato (errata, cfr. mio commento sotto), non solo gli equilibri di Nash non sono ottimali nel senso riferito, ma nemmeno gli esiti evolutivamente stabili. 

Quindi, l'uccellino non assume un comportamente razionale del coccodrillo. Non conosco il gioco che spiega la foto, ma se quel tipo di comportamento fosse ES, vorrebbe dire che si sono evolute specie di coccodrilli e uccellini che, cosi' comportandosi, si autoperpetuano a scapito di altri tipi di coccodrillli e uccellini che comportandosi diversamente  in presenza dei primi, sono stati eliminati dalla selezione.  

Quindi, per rispondere alla tua ultima domanda 

"In pratica, e lo chiedo a chi qui ne sa ben piu' di me, è veramente necessaria questa consapevole assunzione di razionalità in tutti gli attori per arrivare ad un equilibrio di Nash?"

la risposta e' sicuramente NO, almeno per un sottoinsieme di equilibri di Nash. Per altri si'. Sulle foundation degli equilibri di Nash c'e' una letteratura sterminata a cavallo fra la matematica e la filosofia. 

Andrea, in realtà il concetto di equilibrio evolutionary stable è già in Nash. 

Era l'appendice alla sua tesi di dottorato, l'unica pagina della tesi che NON ha pubblicato sugli Annals perché ritenuta non sufficentemente robusta come formalizzazione. Era anche la pagina dove spiegava come si converge all'equilibrio. L'intera tesi è stata ripubblicata in una raccolta di saggi di Nash (cercate sul web). Della pagina mancate ho scritto in varie occasioni, tra cui qui:  http://hope.dukejournals.org/cgi/framedreprint/36/4/639 

 

Nel cordoglio per la tragica scomparsa di Nash, l'unico, parzialissimo sollievo è che la disgrazia sia avvenuto al ritorno dalla cerimonia per la consegna del premio Abel per la matematica in Norvegia. Il premio era il coronamento di un sogno (essere riconosciuto come grande matematico, dato che economista non lo è mai stato) che Nash aveva inseguito per tutta la vita. Almeno in questo, lui e la sua straordinaria compagna di vita potevano dirsi finalmente appagati. Una conclusione da film, insomma, anche se priva di lieto fine.

R.I.P. 

 

 

 

 

in realta', a mio avviso, oltre all'assunzione che le preferenze siano "razionali" (nel senso di essere un ranking completo dei possibili outcome), il concetto di razionalita' (come ne stiamo implicitamente parlando qui) non e' mai esplicitamente formalizzato in game theory classica. 

la game theory lavora con "solution concepts" che sono come mappings da games ad outcomes (cioe' stabiliscono come derivare una soluzione da un game). per esempio nash equilibrium o iterated elimination of strictly dominated strategies sono due solution concepts. poi, il dibattito sulla razionalita' o meno si innesta nel tentativo di giustificare i diversi solution concepts.

in questo senso, il programma di ricerca che cerca di formalizzare solution concepts sulla base di condizioni epistemiche (quali la razionalita' intesa come la capacita' di fare la scelta migliore tra quelle disponibili data la conoscenza) e' l'epistemic game theory. per esempio, in extensive games, common knowledge of rationality implies that players must play the backward induction solution (and viceversa).

ma a giustificare solution concept non c'e' solo la razionalita'. ed il caso di ESS pointed out by andrea, e' uno dove il solution concept e' motivato con appeal a population dynamics. e non e' il solo, c'e' tutta una letteratura anche in questo caso.

comunque mi fermo perche' veramente mi muovo su terreno scivoloso (almeno per me). come curiosita', una frase di mertens, estratta da un suo paper

“It is as if every time we think we finally get a hold on what rational behaviour means, we find ourselves having grasped only a shadow. Maybe this means there is excessive υβρις in this endeavour: that rationality is something belonging to the gods themselves, and that should not be stolen from them. Maybe it is the tree of knowledge itself, that we should not touch?”

 Non conosco il gioco che spiega la foto, ...

Se ricordo bene si tratta proprio del dilemma del prigioniero giocato in modo ricursivo (infinito) con dinamiche tipo Tit for tat. Non c'è solo quel caso del coccodrillo. Il piu' significativo riguarda un pesce pulitore che entra nelle branchie di pesci piu' grandi per pulire. Il pesce pulitore pero' deve subire la concorrenza di pesci opportunisti che con una livrea molto simile entrano e ne approfittano per magiare non i residui ma pezzi di tenera carne. Malgrado la possibilità di subire qualche fregatura ogni tanto (come nella tit for tat) la strategia risulta stabile.

La frase che citi,

Il risultato di Nash, ottenuto quando era ancora studente, prevede che se ogni giocatore assume che tutti i partecipanti terranno ilcomportamento più razionale possibile in funzione del perseguimento di un obbiettivo comune, il sistema raggiungerà il miglior equilibrio possibile per tutti in modo naturale

è ripresa da un articolo del Fatto frutto di un'intervista al matematico Stefano De Michelis. 

Purtroppo, trattasi di grande baggianata. La teoria dei giochi è stata usata per dimostrare che spesso l'esito definito dall'equilibrio di Nash prevede il contrario, cioe' che spesso esiti non di equilibrio sarebbero migliori per tutti. Basta googleare "prisoners' dilemma" per trovare un esempio che lo dimostra. 

La frase e' talmente grottesca che devo assumere sia dovuta al fraintendimento del giornalista - non posso credere che Demichelis l'abbia pronunciata. Si puo' forse immaginare che stesse parlando di coordination games e di qualche forma di equilibrium selection. Demichelis ad esempio ha scritto con Weibull un paper (AER 2008) su una forma di cheap talk che seleziona l'equilibrio efficiente come unico ESS. Magari parlava di quello e il giornalista pensava fosse il risultato della tesi di Nash...

Sì, la frase l'ho presa dal Fatto ma nel film (la scena divenuta famosa) si dice la stessa cosa. Doppia baggianata, quindi.

Piero e Pina sono insieme da diversi anni e stasera vorrebbero festeggiare insieme il loro anniversario. Non hanno fatto a tempo a discutere i dettagli e sono usciti per andare al lavoro (ognuno il suo) senza mettersi d'accordo. Sono impossibilitati a comunicare (base di ogni dilemma, prigioniero incluso) ma da tempo Piero parla a lei della finale di campionato e Pina di una performance teatrale famosissima che arriva in Città e che vorrebbe tanto vedere. Naturalmente a Piero piace lo sport (+10) e non piace il teatro (-5) mentre per Pina c'è la situazione diametralmente opposta. A tutti e due piace essere insieme (+10) e dispiace essere separati (-5). Sono le sette di sera e Piero deve decidere se andare a vedersi la finale allo stadio (forse da solo) o a teatro. Stessa decisione, per Pina.

Se entrambi decidono di far prevalere il loro egoismo (chiamiamolo cosi' per intenderci) si ritroveranno  vedere lo spettacolo che preferiscono ma da soli (quindi ognuno ha 5 punti, risultato di +10 e -5). Insieme realizzano 10 punti. 

L'aspetto irritante è che invece se entrambi decidono contemporaneamente di andare incontro alle aspettative dell'altro, una sorta di altruismo cooperativo, si realizza l'esito peggiore: entrambi sono di nuovo da soli ma stanno vedendo lo spettacolo dell'altro, quello che non vorrebbero vedere. Lui va a teatro e lei allo stadio. Totale per ognuno -5 perché sono da soli e -5 perché stanno vedendo una cosa che non piace. Quindi -10 cadauno e -20 per la popolazione (intesa come somma dei due).

L'esito migliore si ha se adottano (non si sa come) una strategia mista. Lui (o lei, indifferente) fa la scelta egoista e l'altro quella altruista, che viene incontro all'altro.
In questo modo ognuno ha +10 perché sono insieme, uno dei due ha +10 perché vede il suo spettacolo preferito e l'altro ha -5 perché vede qualcosa che non piace. Ma la somma fa 25, che è il punteggio massimo ottenibile. Se questa è la soluzione, come ottenerla razionalmente avvicinandosi il piu' possibile? Direi usando una moneta (testa o croce, stadio o teatro) cosa che potrebbe essere razionale in un gioco a somma zero ma che in questo caso (forse) è singolare veder apparire in un gioco a somma >0.

Avvalersi del caso è razionale anche in giochi a somma >0?

Una cosa sfuggita ai più è che nel film "A Beautiful Mind" hanno commesso un grossolano errore per esemplificare il concetto di "strategia dominante"; l'esempio cinematografcamente proposto è efficace solamente se gli agenti sono dispari e, nella fattispecie, 4 uomini e 5 donne(4 + bomba sexy); solo in questo modo, eliminando la bomba sexy(payoff massimo) si raggiunge il miglior risultato comune(scopare..< del risultato massimo ma cmq. apprezzabile).

Nel film, allego supporto visivo https://www.youtube.com/watch?v=2d_dtTZQyUM gli uomini sono di pari numero.e quindi, necessariamente, uno di essi è inevitabilmente costretto a rischiare un due di picche.

Quale la strategia dominante in questo caso? Occultare un agente maschio che entrerà nel gioco cooperativo solo dopo che i 4 colleghi avranno portato a casa il risultato. La bomba sexy(la bionda), assolutamente impreparata a far da tappezzeria, cadrà facilmente preda dell'agente "nascosto". Tale strategia, corroborata da anni e anni di vacanze con gl amici, è assolutamente e matematicamente inattaccabile. Ottima potremmo defnirla anche se, ovviamente, in media statistica.

Un caro saluto.

In realta' quel gioco ha N equilibri Nash, con N uguale al numero degli uomini (supposto che le femmine siano almeno tante quanti i maschi). In ogni equilibrio un uomo a caso prende la bionda e gli altri si buttano sulle more. Nel film scelgono un profilo di strategie (si dice cosi' in italiano?) che non e' un equilibrio di Nash, visto che ognuno ha l'incentivo a deviare (cioe' a buttarsi sulla bionda).

... che mi pare grossolano è che nella scena del film pur parlando dei comportamento razionale di tutti i partecipanti, in realtà si punta tutto sulla strategie dei maschi, mentre le donne non vengono considerate, se non come elementi che dicono di no o di si'. In pratica nell'esempio le donne non hanno payoff e non si capisce in base a quale criterio razionale dovrebbero decidere (se non un vago accenno che le more non gradiscono essere considerate seconda scelta).

Sorpresa

fausto panunzi 29/5/2015 - 16:41

Confesso la mia sorpresa per i commenti apparsi sui social a proposito di Nash in questi giorni. Innanzitutto la sorpresa per il numero di commenti e condivisioni. Evidentemente il film, che a me non era piaciuto, aveva reso Nash molto popolare anche al di fuori dall'accademia. Poi la sorpresa per alcuni commenti molto ideologici sull'opera di Nash o, meglio, sull'uso che ne è stato fatto. La lettura ideologica dell'equilibrio di Nash va oltre le mie capacità, lo ammetto. 

de lellis

palma 5/6/2015 - 18:31

spiego' in modo lapalissiano. il video e' per tutti su internet, la matematica vera, non le idiozie di Howard, e' spiegata con minimi apparati tecnici.

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